Phi en las matemáticas

Propiedades matemáticas del número Phi

 

Phi en la sucesión de Fibonacci

Se puede hallar este número también con la sucesión de Fibonacci. Esta sucesión matemática es la siguiente:

1-1-2-3-5-8-13-21-34-55-89-144-233...

Esta numeración consiste en sumar el anterior número para descubrir el siguiente, por ejemplo el siguiente a 8 es 8+5=13.

¿Pero qué tiene que ver esta sucesión con el número áureo?

Pues vea la siguiente tabla:

Cociente entre un número de la sucesión y su inmediatamente anterior	Diferencia entre el cociente expuesto a la izquierda y el número áureo
1 ÷ 1 = 1	- 0,618034
2 ÷ 1 = 2	+ 0,381966
3 ÷ 2 = 1,5	- 0,118034
5 ÷ 3 = 1.666667	+ 0,048633
8 ÷ 5 = 1,6	- 0,018034
13 ÷ 8 = 1,625	+ 0,006966
21 ÷ 13 = 1,615385	- 0,002649
34 ÷ 21 = 1,619048	+ 0,001014
55 ÷ 34 = 1,617647	- 0,000387
89 ÷ 55 = 1,618182	+ 0,000148
144 ÷ 89 = 1,617978	- 0,000056
233 ÷ 144 = 1,618056	+ 0,000022

Comprobamos que paso tras paso nos acercamos más al número Phi. Las diferencias son cíclicas, cada vez más cerca de Phi y una vez la aproximación es por debajo del valor de phi, la vez siguiente por encima y así hasta el infinito... Es un logaritmo.

 

Phi en el triángulo de Pascal

Este es el triángulo de Pascal que se forma situando el número uno por sus dos laterales y los demás números se hallan sumando los dos números que tiene justo encima (según las V del dibujo). Sumando los números según las diagonales (líneas verdes y azules en el dibujo) obtenemos la sucesión de Fibonacci.

Si cogemos la tercera línea diagonal: 1-3-6-10-15-21-28-36... Y sumamos un número a la siguiente obtenemos los cuadrados sucesivamente de cada número:

      • 1 + 3 = 4 que es el cuadrado de 2 (2² -> 2x2=4)

      • 3 + 6 = 9 que es el cuadrado de 3 (3² -> 3x3=9)

      • 6 + 10 = 16 que es el cuadrado de 4 (4² -> 4x4=16)

Así prodríamos seguir hasta el infinito.

línea áurea

La razón entre el segmento entero y el segmento a es la misma que la razón entre los segmentos a y b, esta es la razón áurea.

(a+b)/a = a/b -> a² = b(a+b) = ba+b² -> a² - ba - b² = 0

Para averiguar el valor de a vamos a solucionar esta última ecuación de segundo grado.

  

  a/b = Φ ->      

Como ha visto el arte tiene mucho que ver con las matemáticas y estas a su vez intentan dar explicaciones lógicas a la naturaleza y este universo tan grande y curioso.

Por lo tanto es lógico que el hombre utilice las matemáticas para representar a través del arte este universo que nos rodea.

También es lógico que empleemos herramientas basadas en las matemáticas para crear arte.

Herramientas como los programas de diseño CAD y de mecanizado CAM que utilizo para tallar bajorrelieves de madera con una fresadora de control numérico.

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